Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；(2)

【解析】

（1）首先利用待定系數(shù)法設出切線的方程，然后利用圓心到切線的距離等于半徑求出切線方程；（2）PM的距離用P到圓心C的距離與半徑來表示，建立PO與與PC的關系，求出P點的軌跡為一條直線，然后將求PM的最小值問題轉化為原點到直線的距離問題,

解:(1)將圓C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①當切線在兩坐標軸上的截距為零時，設切線方程為y＝kx，

∴圓心到切線的距離為，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．

∴y＝(2±)x；

②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設切線方程為x＋y－a＝0，

∴圓心到切線的距離為，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．

∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．綜上所述，所求切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)∵|PO|＝|PM|，

∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上．

當|PM|取最小值時，即|OP|取得最小值，此時直線OP⊥l，

∴直線OP的方程為：2x＋y＝0，

解得方程組得，

∴P點坐標為．