Question

【題目】如圖:雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過作直線交軸于點(diǎn).

(1)當(dāng)直線平行于的一條漸近線時(shí),求點(diǎn)到直線的距離;

(2)當(dāng)直線的斜率為時(shí),在的右支上是否存在點(diǎn),滿足？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

(3)若直線與交于不同兩點(diǎn)、,且上存在一點(diǎn),滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，滿足，詳見解析（3）

【解析】

(1) 雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,,,的漸近線方程為,由對稱性可知:,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得答案;

(2) 直線的斜率為時(shí),的方程為,設(shè)右支上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,由,得,結(jié)合已知,即可求得答案;

(3) 設(shè):,聯(lián)立與的方程,得,根據(jù)韋達(dá)定理,結(jié)合已知,即可求得答案.

(1) 雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,

,,的漸近線方程為,

由對稱性可知：,即,

到的距離.

（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí),的方程為,故,

又 ,故,

設(shè)右支上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

由,得,即:

由消去

得,

由根與系數(shù)的關(guān)系知,此方程無正根

在雙曲線的右支上不存在點(diǎn),滿足.

（3）設(shè),,則,

由點(diǎn)在曲線上,故①

設(shè):.

聯(lián)立與的方程,得,

由于與交于不同兩點(diǎn),

,

,

從而①即為,

解得.

即直線的方程為.