Question

已知橢圓C₁：=1,拋物線C₂：(y-m)²=2px(p＞0),且C₁、C₂的公共弦AB過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn).

(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

(2)若p=且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱. 所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，-）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以=2p,即p=. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （2）當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB上時(shí)，由（1）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1). 由 消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0 ① 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）(x2,y2), 則x1、x2是方程①的兩根，x1+x2=. 因?yàn)?I>AB既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦， 所以|AB|=（2-x1）+(2-x2)=4-(x1+x2), 且|AB|=（x1+）+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+. 從而x1+x2+=4-(x1+x2). 所以x1+x2=,即 解得k2=6,即k=±. 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F′(,m)在直線y=k(x-1)上， 所以m=-k,即m=或m=-. 當(dāng)m=時(shí)，直線AB的方程為y=-(x-1); 當(dāng)m=-時(shí)，直線AB的方程為y=(x-1).