Question

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=

3

，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45°時，求二面角A-EC-F的大小．

Answer 1

分析：方法一：（1）作EM⊥CF于M，則易知為異面直線AD與EF所成的角，在在RT△EMF中求解．
（2）∠DEC 為二面角D-EF-B的平面角．作BN⊥CE于N，則∠ANB即為二面角A-EC-F的平面角的補角
方法二：（1）以點C為坐標(biāo)原點，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

DA

，

FE

夾角求出異面直線AD與EF所成的角
（2）利用面ECA的一個法向量與面ECF的一個法向量夾角求出二面角A-EC-F的大小．

解答：解：（方法一）（1）作EM⊥CF于M，則EM∥BC∥AD，
在RT△EMF中，易知四邊形BCME為矩形，所以EM=BC=AD=

3

，又EF=2
所以cos∠MEF=

EM

EF

=

3

2

，∠MEF=30°，即異面直線AD與EF所成的角為30°．…（5分）
（2）矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∴DC⊥EF，又CE⊥EF，
即∠DEC為二面角D-EF-B的平面角，即∠DEC=45°．
若設(shè)EC=x，則在直角三角形CEF中，CE•EF=CF•EM，x•2=

x2+22

•

3

，x=2

3

．
∴CE=CD=AB=2

3

．
作BN⊥CE于N，則∠ANB即為二面角A-EC-F的平面角的補角，

在直角三角形CBE中，CB•BE=CE•BN，且BE=

EC2-BC2

=3，解得BN=

3

2

，
∴tan∠ANB=

AB

BN

=

4 3

3

，
∴二面角A-EC-F的大小為π-arctan

4 3

3

．…（12分）
（方法二）
如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系  C-xyz．…（1分）

設(shè)AB=a，BE=b，CF=c，(b＜c) 則C(0，0，0)，A( 3 ，0，a)，B( 3 ，0，0)，E( 3 ，b，0)，

F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1）

DA

=(

3

，0，0)，

CB

=(

3

，0，0)，

FE

=(

3

，b-c，0)，
由|

FE

|=2，得3+(b-c)2=4，∴b-c=-1．所以

FE

=(

3

，-1，0)．
所以cos＜

DA

，

FE

＞=

DA • FE

| DA |•| FE |

=

3

3 ×2

=

3

2

，…（4分）
所以異面直線AD與EF成30°   …（5分）
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45，即∠DEC=45°．
設(shè)

n

=(1，y，z)為平面AEC的法向量，則

n

•

AE

=0，

n

•

EC

=0，求得

n

=(1，-

3

3

，-

1

2

)．…（8分）
又因為BA⊥平面BEFC，

BA

=(0，0，1)，所以cos＜

n

，

BA

＞

n • BA

| n |•| BA |

=-

57

19

…（10分）
因為二面角A-EC-F是銳二面角，
所以二面角A-EC-F的大小為π-arccos

57

19

…（12分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．