Question

定義：若

h(x)

xk

在[k，+∞）上為增函數(shù)，則稱h（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N^*，已知f（x）=x³+2ax²+ax，g（x）=e^x-ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，又是“2次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)g（x）在[m-1，m]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：探究型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）應(yīng)用條件f（x）是“1次比增函數(shù)”，又是“2次比增函數(shù)”，得出函數(shù)的單調(diào)性，再用導(dǎo)數(shù)推理，
（2）先探討函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再對m進(jìn)行分類討論．

解答： 解：（1）∵f（x）是“1次比增函數(shù)”，
∴

f(x)

x

=x²+2ax+a在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴-a≤1，∴a≥-1，
∵f（x）是“2次比增函數(shù)”，則

f(x)

x2

=x+

a

x

+2a在[2，+∞）為增函數(shù)，
則（x+

a

x

+2a）′=1-

a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
∴a≤x²在[2，+∞）恒成立，∴a≤4，
綜上a的取值范圍為[-1，4]．
（2）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=e^x-x
g′（x）=e^x-1，
由g′（x）＞0，得x＞0；由g′（x）＜0，得x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
①當(dāng)m-1＜0＜m，即0＜m＜1時，g（x）在[m-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，m]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（0）=1，
②當(dāng)m-1≥0，即m≥0時，g（x）在[m-1，m]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．
綜上，當(dāng)m-1＜0＜m，g（x）_min=1，
當(dāng)m≥0時，∴g（x）_min=g（m-1）=e^m-1-m+1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，且此題也是一個創(chuàng)新題，讀懂題目中的概念是解題的關(guān)鍵．