Question

已知函數f（x）=x（x-2）²+1，x∈R
（1）求函數f（x）的極值；
（2）討論函數f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值．

Answer 1

解：（1）f（x）=x³-4x²+4x+1
∵f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為和（2，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間為，
所以為f（x）的極大值點，極大值為x=2為f（x）的極小值點，極小值為f（2）=1．（7分）
（2）①當即時，函數f（x）在區(qū)間[t，t+2]上遞增，
∴f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1；
②當即時，
函數f（x）在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
∴；
③當時，f（x）_max=max{f（t），f（t+2）}，
令f（t）≥f（t+2），則t（t-2）²≥（t+2）t²，t（6t-4）≤0，得，
所以當，f（t）＜f（t+2），f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1，
所以．
分析：（1）把f（x）化簡后，求出f（x）的導函數，令導函數大于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數的增區(qū)間；令導函數小于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數的減區(qū)間，根據函數的增減性即可得到函數的極值；
（2）分三種情況：x=在區(qū)間[t，t+2]的左邊，右邊及中間，根據（1）中求出函數的單調區(qū)間，利用函數的單調性即可求出相應的t范圍中函數的最大值，聯(lián)立即可得到f（x）最大值與t的分段函數關系式．
點評：此題考查學生會利用導數研究函數的極值，會利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，是一道綜合題．