Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線l₁：x=2與x軸相交于點(diǎn)D，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為

2

，點(diǎn)C（m，0）在線段OF上．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

？若存在，求出l的斜率；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）

a2

c

=2⇒a2=2c．a=

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）由F（1，0），假設(shè)存在直線l，設(shè)其方程為：y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠求出存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

，l的斜率k=±

2

2

．

解答：解：（1）

a2

c

=2⇒a2=2c．
∵a=

2

，
∴c=1，
∴b=1，
∴橢圓的方程

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）知F（1，0），
假設(shè)存在直線l，設(shè)其方程為：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴y1+y1=k(x1+x2-2)=

-2k

2k2+1

，

CA

+

CB

=(x1-

1

4

，y1 )+(x2-

1

4

，y2)=(

4k2

2k2+1

-

1

2

，

-2k

2k2+1

)，
∵(

CA

+

CB

)⊥

BA

，
而AB的方向向量為（1，k），
∴

4k2

2k2-1

-

1

2

+

-2k

2k2+1

×k=0，
∴(1-

1

2

) k2=

1

4

，
∴k2=

1

2

，k=±

2

2

．
故存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

，l的斜率k=±

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．