已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，f（-1）=2，
（1）求證f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．
分析：（1）設x1＜x2，則x1-x2＜0，則f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）f（x2）＞f（x2）可證明
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，3]上單調遞減且f（-1）=2，則f（x）max=f（-3）=f（-2）f（-1）=f3（-1），f（x）min=f（3），結合已知可求
解答：證明：（1）設x1＜x2，則x1-x2＜0
∵x＜0時，f（x）＞1
∴f（x1-x2）＞1
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）f（x2）＞f（x2）
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上為減函數(shù)
解：（2）由（1）可知，f（x）在[-3，3]上單調遞減且f（-1）=2，
∴f（x）max=f（-3）=f（-2）f（-1）=f3（-1）=8
f（x）min=f（3）
由f（x+y）=f（x）•f（y）且f（x）＞0，f（y）＞0
∴f（0）=f（0）f（0）
∴f（0）=1
∴f（1）f（-1）=f（0）=1
∴f（1）=
1
2

∴f（3）=f（1）f（2）=f（1）f（1）f（1）=
1
8

∴f（x）在[-3，3]上的最大值為8最小值
1
8
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的單調性的證明，函數(shù)最值的求解，解題的關鍵是靈活的進行配湊
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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