Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點、分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓的右準線上的點，滿足線段的中垂線過點．直線：為動直線，且直線與橢圓交于不同的兩點、．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若在橢圓上存在點，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍；
（3）在（Ⅱ）的條件下，當取何值時，的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

（1）
（2）
（3）當時，的面積最大，最大值為

解：（1）設橢圓的方程為，半焦距為，依題意有
 解得　　　　．
所求橢圓方程為．      ……………………………3分
（2）由，得．
設點、的坐標分別為、，則
．
（1）當時，點、關于原點對稱，則．
（2）當時，點、不關于原點對稱，則，
由，得      即
點在橢圓上，有，
化簡，得．
，有．………………①        
又，
由，得．……………………………②　　 　
將①、②兩式，得．
，，則且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)的取值范圍是．………………8分
【注】 此題可根據(jù)圖形得出當時，當、兩點重合時．
如果學生由此得出的取值范圍是可酌情給分．
（3），點到直線的距離，
的面積
．         
由①有，代入上式并化簡，得．
，．         
當且僅當，即時，等號成立．
當時，的面積最大，最大值為．…………… 12分