Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=-

1

2

，

1

Sn

+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式；并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用條件，代入計(jì)算，可求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）由（1）猜想S_n的表達(dá)式；利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=-

1

2

，

1

Sn

+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)，
∴S1=-

1

2

，S2=-

2

3

，S3=-

3

4

，S4=-

4

5

．…（4分）（每個(gè)1分）
（2）猜想Sn=-

n

n+1

(n∈N*)，…（6分）
數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=-

1

2

，猜想成立；…．（7分）
（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^* ）時(shí)猜想成立，即有：Sk=-

k

k+1

，
則n=k+1時(shí)，因?yàn)?span id="hbfhchd" class="MathJye">

1

Sk+1

=-Sk-2…（8分）
∴

1

Sk+1

=

k

k+1

-2=-

k+2

k+1

；…（10分）
從而有Sk+1=-

k+1

k+2

，即n=k+1時(shí)，猜想也成立；
由（1）（2）可知，Sn=-

n

n+1

(n∈N*)，成立…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查猜想與證明，正確理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是關(guān)鍵．