Question

定義：若函數(shù)f（x）對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x₀，有 f （x₀）=x₀，則稱x₀是f （x）的一個不動點．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對任意的實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動點，
且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=-2時，有f （x）=x²-x-3，
令x²-x-3=x，化簡得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，或x₂=3
故所求的不動點為-1或3．（4分）

（Ⅱ）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1=0①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0，
故4a-4a²＞0，即0＜a＜1（8分）

（Ⅲ）設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），則k_AB=1，∴k=-1，
所以y=-x+，（9分）
又AB的中點在該直線上，所以=-+，
∴x₁+x₂=，
而x₁、x₂應(yīng)是方程①的兩個根，所以x₁+x₂=-，即-=，
∴（12分）
==
∴當(dāng)a=∈（0，1）時，b_min=-1．（14分）
分析：（I）將a=1，b=-2代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；
（II）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個不動點，即ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，可通過判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0恒成立，將此不等式恒成立轉(zhuǎn)化為4a-4a²＞0即可．
（III）由于本小題需要根據(jù)兩個點A、B的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化點關(guān)于線的對稱這一條件，故可以先設(shè)出兩點的坐標(biāo)分別為A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），由斜率公式求得k_AB=1，又對稱性知直線y=kx+的斜率k=-1將其代入直線的方程，可以得到x₁+x₂=，由此聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，由（II）知，x₁、x₂應(yīng)是方程ax²+bx+b-1=0的根，故又可得x₁+x₂=-，至此題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為-=，觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)即，至此，求參數(shù)b的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題．
點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識，同時考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識．