Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a為實(shí)常數(shù)且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（-1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再看當(dāng)x取什么值時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，當(dāng)x取什么值時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）因由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞所以此時(shí)f（x）無(wú)最小值，不合題意，故只要考慮當(dāng)a＜0時(shí)的情形即可，欲使得恒成立，只須小于等于f（x）的最小值即可，由此得不等式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）（2分）
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），所以x+1＞0
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，2（x+1）²＞-a，即時(shí)f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）的單增區(qū)間為（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞
所以此時(shí)f（x）無(wú)最小值，不合題意（7分）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在上單調(diào)減，在上增，
所以恒成立，即（10分）
，得（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識(shí)．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問(wèn)題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化才能使恒成立問(wèn)題得到簡(jiǎn)化；轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用．