Question

2014年“霧霾”成為年度關(guān)鍵詞．霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài)，霧霾是對大氣中各種懸浮顆粒物含量超標(biāo)的籠統(tǒng)表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于等于2.5微米的顆粒物）被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”． PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．下面是國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	0--35	35--75	75--115	115--150	150--250	250以上
空氣質(zhì)量等級	1級優(yōu)	2級良	3級 輕度污染	4級 中度污染	5級 重度污染	6級 嚴(yán)重污染

由全國重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得4月份某五天甲和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如圖．
（Ⅰ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別計(jì)算兩城市的PM2.5日均值的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪個(gè)城市的空氣質(zhì)量較好？
（Ⅱ） 試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級相同的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由莖葉圖可知甲乙兩個(gè)城市PM2.5每天的日均值，代入平均數(shù)可得答案；進(jìn)而比較兩個(gè)平均數(shù)的大小可得哪個(gè)城市的空氣質(zhì)量較好；
（II）由莖葉圖可知在抽取的五天中，甲城市空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的頻數(shù)為3，進(jìn)而根據(jù)頻率=

頻數(shù)

樣本容量

得到頻率，進(jìn)而估算出概率；
（Ⅲ）從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，共有25種不同情況，統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級相同的情況個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）乙城市的空氣PM2.5日均值平均數(shù)為

66+68+85+88+98

5

=81…（1分）
甲城市的空氣PM2.5日均值平均數(shù)為

59+83+87+95+116

5

=88…（2分）
乙城市的空氣PM2.5日均值平均數(shù)小于甲城市，所以乙城市的空氣質(zhì)量較好．…（3分）
（Ⅱ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的頻率為

3

5

，
則估計(jì)甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率為

3

5

．        …（6分），
（Ⅲ）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為：
（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）
（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）
（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）
（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）
（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98）…（9分）
其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級相同的包括同為2級良的為甲59，乙66，乙68；同為3級輕度污染的為甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；則空氣質(zhì)量等級相同的為：
（59，66），（59，68），
（83，85），（83，88），（83，98），
（87，85），（87，88），（87，98），
（95，85），（95，88），（95，98），．共11個(gè)結(jié)果．…（11分）
所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級相同的概率為

11

25

．                   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查等可能事件概率的求法，考查莖葉圖，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．