Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在點(diǎn)P處的切線斜率為8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

Answer 1

（Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)P（1，2），
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①
又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②
解由①②組成的方程組，可得a=4，b=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞；令f'（x）＜0，可得．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），，減區(qū)間為．
分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)P（1，2）與函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），令f'（x）＞0和令f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了分析與解決問(wèn)題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題．