已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=
1
2
，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△APQ的面積S=
18
2
7
時(shí)，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a=2，e=
c
a
=
1
2
，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）法一：橢圓右焦點(diǎn)F（1，0）． 設(shè)直線PQ方程為x=my+1（m∈R）．由
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3m2+4）y2+6my-9=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線PQ的方程．
法二：由已知條件，先求出|PQ|=12×
m2+1
3m2+4
．再求出點(diǎn)A到直線PQ的距離d，由△APQ的面積S=
18
2
7
=
1
2
|PQ|•d，求出m，由此能求出直線PQ方程．
（Ⅲ）設(shè)P的坐標(biāo)（（x0，y0），由已知條件推導(dǎo)出
OP
•
FP
=
1
4
x
2
0
-x0+3=
1
4
(x0-2)2+2，由此能求出
OP
•
FP
的范圍．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），
∵橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=
1
2
，
∴a=2，e=
c
a
=
1
2

∴c=1，b2=a2-c2=3，（2分）
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．（4分）
（Ⅱ）解法一：橢圓右焦點(diǎn)F（1，0）． 設(shè)直線PQ方程為x=my+1（m∈R）．（5分）
由
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3m2+4）y2+6my-9=0．①（6分）
顯然，方程①的△＞0．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則有y1+y2=-
6m
3m2+4
，y1y2 =-
9
3m2+4
．（8分）
由△APQ的面積S=
18
2
7
=
1
2
|AF|•|y1-y2|
=
3
2
36m2
(3m2+4)2
+
36
3m2+4
，解得：m=±1．
∴直線PQ 方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
解法二：|PQ|=
(m2+1)(y1-y2)2

=
(m2+1)[
36m2
(3m2+4)2
+
36
3m2+4
]

=12
(m2+1)2
(3m2+4)2
=12×
m2+1
3m2+4
．（6分）
點(diǎn)A到直線PQ的距離d=
|-2-1|
1+m2
=
3
1+m2
，（8分）
由△APQ的面積S=
18
2
7
=
1
2
|PQ|•d=•12•
m2+1
3m2+4
•
3
m2+1
，解得m=±1．
∴直線PQ方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．（10分）
（Ⅲ）設(shè)P的坐標(biāo)（（x0，y0），
則
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1，∴
y
2
0
=3-
3
4
x
2
0
，
∴
OP
•
FP
=（x0，y0）•（x0-1，y0）=x02-x0+y02
=
1
4
x
2
0
-x0+3=
1
4
(x0-2)2+2，（12分）
∵-2＜x0＜2，∴
OP
•
FP
的范圍為（2，6）．（14分）
（注：以上解答題其他解法相應(yīng)給分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)f （x）=sin（2x-
π
4
）（x∈R） 有下列命題：
①y=f（x）的周期為π；
②x=
π
4
是y=f （x）的一條對稱軸；
③（
π
8
，0）是y=f（x）的一個(gè)對稱中心；
④將y=f（x）的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位，可得到y(tǒng)=2sinxcosx的圖象．
其中正確的命題序號是
 
（把你認(rèn)為正確命題的序號都寫上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為60°的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為（　�。�
A、12+
10
3
π
B、6+
10
3
π
C、12+2π
D、6+4π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，且經(jīng)過點(diǎn)P(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，-1），直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N．若△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），又當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x3，
（1）證明：直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（2）當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）求x∈R時(shí)的函數(shù)f（x）的解析式；
（4）若A={x||f（x）|＞a，x∈R}，A≠∅，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，橢圓C過點(diǎn)(
1
2
，
3
)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（0，m）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）△ABC的內(nèi)角分別是A，B，C，若f（A）=1，cosB=
4
5
，求sinC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶△ECF，其中動點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且△ECF的周長為常數(shù)a（單位：百米）．
（1）求景觀帶面積的最大值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，請計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即∠EAF）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x，y滿足約束條件
x2+y2≤4
x-y+2≥0
y≥0
，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是
 
．

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同步練習(xí)冊答案