Question

某家庭手工坊生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為10元，并且每件玩具的加工費(fèi)為2元，設(shè)該手工廠作坊每件玩具的賣出價(jià)為x元（15≤x≤21），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數(shù)）．當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為20元時(shí)，日銷售量為10件．
（1）求該手工作坊的日利潤(rùn)y（元）與每件玩具的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件玩具的售價(jià)為多少元時(shí)，該手工作坊的利潤(rùn)y最大，并求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數(shù)），當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為20元時(shí)，日銷售量為10件，確定日銷售量函數(shù)；
（2）求導(dǎo)數(shù)，可得極大值，也是最大值，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵日銷售量c=

2k

x2-128

（k為常數(shù)），當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為20元時(shí)，日銷售量為10件，
∴10=

2k

400-128

，
∴k=1360，
∴日銷售量c=

2720

x2-128

∴日利潤(rùn)y=（x-10-2）•

2720

x2-128

=（x-12）•

2720

x2-128

（15≤x≤21）；
（2）y′=2720•

x2-128-(x-12)•2x

(x2-128)2

=0，可得x=8或x=16，
∵15≤x≤21，
∴15≤x≤16時(shí)，y′＜0，16≤x≤21時(shí)，y′＞0，
∴x=16時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，此時(shí)，y=85，
∴當(dāng)每件玩具的售價(jià)為16元時(shí)，該手工作坊的利潤(rùn)y最大為85元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)的建立，解題的關(guān)鍵是把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明．