Question

7．已知函數(shù)f（x）=x${\;}^{-2{m}^{2}+m+3}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=log_a（f（x）-ax+2）在區(qū)間（1，+∞）上恒為正值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義以及函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞1，且x²-ax+2＞1在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即h（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1恒成立，其中x∈（1，+∞），通過(guò)討論a，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）由條件冪函數(shù)f（x）=${x}^{-{2m}^{2}+m+3}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，
得到-2m²+m+3＞0，
解得：-1＜m＜$\frac{3}{2}$ …（2分）
又因?yàn)閙∈Z，所以m=0或1；
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x³，f（x）為奇函數(shù)，不滿足；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x²，f（x） 為偶函數(shù)，滿足；
所以f（x）=x²…（4分）
（2）由題意a＞1，且x²-ax+2＞1在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．
即h（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1恒成立，其中x∈（1，+∞）…（6分）
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，$\frac{a}{2}$≤1，所以h（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以，h（x）＞3-a，∴3-a＞1即1＜a≤2適合題意．…（8分）
當(dāng)a＞2時(shí)$\frac{a}{2}$＞1，g（x）=x²-ax+2=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}$+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞1，∴a²＜4與a＞2矛盾，不合題意．
綜上可知：1＜a≤2…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．