Question

如圖，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，∠A1AC=60o，E、F分別是A₁C₁、AB的中點．求證：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）取BC中點M，連接FM，C1M，證明FM

∥

.

1

2

AC，推出四邊形EFMC₁為平行四邊形，然后證明EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足，證明OC

∥

.

A₁E，得到EC

∥

.

A₁O₁，證明A₁O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．

解答：證明：（1）取BC中點M，連接FM，C1M，
在△ABC中，因為F，M分別為BA、BC的中點，
所以FM

∥

.

1

2

AC，
因為E為A₁C₁的中點，AC

∥

.

A1C1，
所以EF∥EC₁，又FM∥A₁C₁從而四邊形EFMC₁為平行四邊形，
所以EF∥C₁M，又因為C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C內(nèi)，作A₁O⊥AC，O為垂足，
因為∠A₁AC=60°，所以AO=

1

2

AA₁=

1

2

AC，
從而O為AC的中點．
所以O(shè)C

∥

.

A₁E，因而EC

∥

.

A₁O₁，
因為側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，交線為AC，
A₁O⊥AC，所以A₁O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因為EC?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系，考查直線與平面平行，平面與平面垂直的證明，考查空間想像能力和推理論證能力．