Question

（2013•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b）為常數(shù)且a≠0）在x=1處取得極值．
（I） 當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II） 若f（x）在（0，e]上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)f′（1）=0，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)a=1求出b值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時(shí)，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于a的方程求得結(jié)果．

解答：解：（I）因?yàn)閒（x）=lnx+ax²+bx所以f′（x）=

1

x

+2ax+b，…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx+ax²+bx在x=1處取得極值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
當(dāng)a=1時(shí)，b=-3，f′（x）=

2x2-3x+1

x

，
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

…（5分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2

，1）…（6分）
（II）因?yàn)閒′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

…（7分）
因?yàn)閒（x）在 x=1處取得極值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
當(dāng)

1

2a

＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減
所以f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），
令f（1）=1，解得a=-2…（9分）
當(dāng)a＞0，x₂=

1

2a

＞0
當(dāng)

1

2a

＜1時(shí)，f（x）在（0，

1

2a

）上單調(diào)遞增，（

1

2a

，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e處取得
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

…（11分）
當(dāng)1≤

1

2a

＜e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，

1

2a

）上單調(diào)遞減，（

1

2a

，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，與1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾…（12分）
當(dāng)x₂=

1

2a

≥e時(shí)，f（X）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
綜上所述，a=

1

e-2

或a=-2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對(duì)其符號(hào)進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．