Question

過點(diǎn)（-1，1）的直線與圓x²+y²-2x-4y-11=0截得的弦長為4

3

，則該直線的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：分類討論：過點(diǎn)（-1，1）的直線與x軸垂直時(shí)，直接驗(yàn)證即可；過點(diǎn)（-1，1）的直線與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：y-1=k（x+1），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心C到此直線的距離d．利用弦長公式4

3

=2

r2-d2

，即可解得k．

解答： 解：由圓x²+y²-2x-4y-11=0化為：（x-1）²+（y-2）²=16，得到圓心C（1，2），半徑r=4．
①過點(diǎn)（-1，1）的直線與x軸垂直時(shí)，把x=-1代入圓的方程：（-1）²+y²-2×（-1）-4y-11=0，
化為y²-4y-8=0，解得y₁=2-2

3

，y2=2+2

3

．
∴弦長=y₂-y₁=4

3

．滿足題意．
②過點(diǎn)（-1，1）的直線與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0．
圓心C到此直線的距離d=

|k-2+k+1|

k2+1

=

|2k-1|

k2+1

．
∴4

3

=2

r2-d2

，即2

3

=

16-( 2k-1 k2+1 )2

，化為4k=-3，解得k=-

3

4

．
∴直線的方程為：-

3

4

x-y-

3

4

+1=0，化為3x+4y-1=0．
綜上可知：所求直線的方程為x=-1或3x+4y-1=0．
故答案為：x=-1或3x+4y-1=0．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓相交的問題、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．