Question

函數(shù)的定義域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1106.png' />．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)．若對(duì)于任意x₁∈，總存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，，∵定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1106.png' />，∴f′（x）＞0
∴函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33267.png' />即
（2）對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得 g′（x）=3（x²-a）
因此，當(dāng)時(shí)，g′（x）≤0，所以當(dāng)時(shí)，g（x）為減函數(shù)，
從而當(dāng)時(shí)，有
即當(dāng)時(shí)，
任給x₁∈，，存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），
則
即，結(jié)合  解得 
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，可知導(dǎo)數(shù)大于0，從而函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以可求函數(shù)的值域；（2）對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得 g′（x）=3（x²-a），根據(jù)，，可知g′（x）≤0，所以當(dāng)時(shí)，g（x）為減函數(shù)，從而可求函數(shù)g（x）的值域；任給x₁∈，，要使存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），則函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以具體函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，同時(shí)考查存在性問(wèn)題的求解，其中將函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，是解題的關(guān)鍵．