Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，
依題意，得D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），
B（1，1，0），．
∴，
∵，
所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為-
（Ⅱ）假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN．
∵=（0，1，1），設(shè)=?λ=（0，λ，λ），，
∴．
由ES⊥平面AMN，得，即，，
此時(shí) 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，ES⊥平面AMN．
故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN，此時(shí)．
分析：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，求出兩條異面直線上的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求出這兩個(gè)向量
所成的角的余弦值，再取絕對值，即得異面直線NE與AM所成角的余弦值．
（Ⅱ）假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN．設(shè)=?λ，則 ．
由ES⊥平面AMN，得，求得 ，．
點(diǎn)評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面垂直的方法，求平面的法向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．