Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值．

Answer 1

解 （1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=-a=．
因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1符合題意．
（2）f′（x）=-a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．因?yàn)閤∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減，
①當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=-a；
②當(dāng)1＜＜2，即＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，）上遞增，在（ ，2）上遞減，
所以x=時(shí)，f（x）取最大值f（）=-lna-1；
③當(dāng)≥2，即0＜a≤時(shí)，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時(shí)，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
綜上，①當(dāng)0＜a≤時(shí)，f（x）最大值為ln2-2a；②當(dāng)＜a＜1時(shí)，f（x）最大值為-lna-1．
③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）最大值為-a．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（1）=0即可求得a值；
（2）在函數(shù)定義域內(nèi)先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由此得其極值點(diǎn)，按極值點(diǎn)與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系分三種情況討論：①當(dāng)0＜≤1，②當(dāng)1＜＜2，③當(dāng)≥2，借助單調(diào)性即可求得其最大值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．