在數(shù)列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且nN*)．

(Ⅰ)求a2，a3的值；

(Ⅱ)設(shè)bn＝(nN*)，證明：{bn}是等差數(shù)列；

(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：

　　∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，

　　∴a2＝2a1＋22＋3＝1　　2分

　　a3＝2a2＋23＋3＝13．　　4分

　　(Ⅱ)證明：

　　證法一：對于任意nN*，

　　∵bn+1－bn＝[(an+1－2an)－3]＝[(2n+1＋3)－3]＝1，

　　∴數(shù)列{bn}是首項為＝＝0，公差為1的等差數(shù)列．　　9分

　　證法二：對于任意nN*，

　　∵2bn+1－(bn＋bn+2)＝2×＝(4an+1－4an－an+2－3)

　�。�[2(an+1－2an)－(an+2－2an+1)－3]＝[2(2n+1＋3)－(2n+2＋3)－3]＝0，

　　∴2bn+1＝bn＋bn+2，

　　∴數(shù)例{bn}是首項為＝0，公差為b2－b1＝1的等差數(shù)列．　　9分

　　(Ⅲ)解：

　　由(Ⅱ)得，＝0＋(n－1)×1，

　　∴an＝(n－1)·2n－3(nN*)．　　10分

　　∴Sn＝－3＋(1×22－3)＋(2×23－3)＋…＋[(n－1)·2n－3]，

　　即Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n－3n．

　　設(shè)Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n，

　　則2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)·2n+1，

　　兩式相減得，－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)·2n+1＝－(n－1)·2n+1，

　　整理得，Tn＝4＋(n－2)·2n+1，

　　從而Sn＝4＋(n－2)·2n+1－3n(nN*)．　　14分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學高三（上）第四次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

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