Question

某分公司經(jīng)銷(xiāo)一種新中國(guó)成立60周年的紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每賣(mài)出一件產(chǎn)品需向總公司上交m元（m為常數(shù)，3≤m≤6）的管理費(fèi)．設(shè)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為x元（9≤x≤11），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知每件成品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件．
（1）求該分公司的日利潤(rùn)L（x）元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式； 
（2）當(dāng)每件成品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該分公司的日利潤(rùn)L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）日銷(xiāo)售量與e^x成反比例，利用每件成品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10件，求出比例系數(shù)，再結(jié)合利潤(rùn)=收入-支出問(wèn)題可以得到解決．
（2）求解函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)是十分重要的工具，利用分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：解：（1）設(shè)日銷(xiāo)售量為

k

e40

，則

k

e40

=10，∴k=10e⁴⁰．…（1分）
則日銷(xiāo)售量為

10e40

ex

．…（2分）
日售價(jià)為x元時(shí)，每件利潤(rùn)為（x-3-m），
則日利潤(rùn)L（x）=（x-3-m）

10e40

ex

．
=10e⁴⁰•

x-3-m

ex

                                      …6
（2）L′（x）=10e⁴⁰•

ex-(x-3-m)ex

(ex)2

=10e⁴⁰•

4+m-x

ex

              …（8分）
①當(dāng)3≤m≤5時(shí)，7≤4+m≤9，當(dāng)9＜x＜11時(shí)，L′（x）＜0
∴L（x）在（9，11）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∵當(dāng)x=9時(shí)，L（x）取的最大值為10（6-m）e³¹．…（11分）
②當(dāng)5＜m≤6時(shí)，9＜4+m≤10，令L′（x）=0，得x=m+4．
x∈（9，m+4）時(shí)，L′（x）＞0 L（x）在（9，m+4）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
x∈（m+4，11）時(shí)，L′（x）＜0，L（x）在（m+4，11）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∵L（x）在[9，11]上連續(xù)，∴當(dāng)x=m+4時(shí)，L（x）取的最大值為10e^36-m．…（14分）
由①②知L(x)=

10(6-m)e313≤m≤5 10e36-m5＜m≤6

…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．