Question

若

x-5

≠kx+2對(duì)一切x≥5都成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：分別作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象，由圖象可知k=0不滿足題意，k＜0時(shí)直線y=kx+2的斜率應(yīng)小于過兩點(diǎn)（5，0）和（0，2）的直線的斜率，k＞0時(shí)聯(lián)立直線和拋物線方程，由判別式小于0得答案．

解答： 解：令y=

x-5

，得y²=x-5（y≥0），
∴函數(shù)y=

x-5

的圖象如圖，

又函數(shù)y=kx+2恒過定點(diǎn)（0，2），
k=0時(shí)顯然不滿足題意；
∴當(dāng)k＜0時(shí)，要使

x-5

≠kx+2對(duì)一切x≥5都成立，則k＜-

2

5

；
當(dāng)k＞0時(shí)，聯(lián)立

y2=x-5 y=kx+2

，得k²x²+（4k-1）x+9=0（x≥5）．
由△=（4k-1）²-36k²＜0，得k＜-

1

2

（舍），或k＞

1

10

．
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是，k＜-

2

5

或k＞

1

10

．
故答案為：k＜-

2

5

或k＞

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．