Question

直線過點（0，2），且被圓x²+y²=4截得的弦長為2，則此直線的斜率是（　�。�

• A、±

  3

  2

• B、±

  3

  3

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過O作OC垂直于弦AB，根據(jù)垂徑定理得到C為弦AB的中點，由|AB|長的一半求出|AC|的長，設(shè)出直線AB的斜率為k，由A的坐標(biāo)和k表示出直線AB的方程，利用點到直線的距離公式表示出O到直線AB的距離，即為|OC|的長，在直角三角形OAB中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過O作OC⊥AB，則C為弦AB的中點，
∴|AC|=

1

2

|AB|=1，
設(shè)所求直線AB的斜率為k，又直線過點A（0，2），即|OA|=2，
∴直線AB的方程為：y-2=kx，即kx-y+2=0，
則圓心O（0，0）到直線的距離|OC|=

2

1+k2

，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：2²=1²+

4

1+k2

，
整理得：k²=

1

3

，解得k=±

3

3

，
則直線AB的斜率為±

3

3

．
故選B

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，用到的知識有垂徑定理，勾股定理，以及點到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓位置關(guān)系是相交時，常常過圓心作出弦心距，利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形來解決問題．