Question

如圖所示，已知圓E：x²+（y-1）²=4交x軸分別于A，B兩點(diǎn)，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓E的弦MN．
（1）若弦MN所在直線的斜率為2，求弦MN的長(zhǎng)；
（2）若弦MN的中點(diǎn)恰好落在x軸上，求弦MN所在直線的方程；
（3）設(shè)弦MN上一點(diǎn)P（不含端點(diǎn)）滿足PA，PO，PB成等比數(shù)列（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試探求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)K_MN=2，且過(guò)點(diǎn)M（0，-1），，代入即可得：弦MN所在直線的方程為y+1=2x
（2）弦MN的中點(diǎn)恰好落在x軸上時(shí)有y_M+y_N=0，可得y_N=1，代入圓E的方程中得N（±2，1），進(jìn)而可求直線MN的方程為x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）設(shè)P（x，y），由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，化簡(jiǎn)得x2=y2+

3

2

．
又由于點(diǎn)P在圓E內(nèi)，所以x²+（y-1）²＜4，
聯(lián)立可得答案．

解答：解：（1）在圓E的方程中令x=0，得M（0，-1），又K_MN=2，
所以弦MN所在直線的方程為y+1=2x，即2x-y-1=0．
∵圓心到直線MN的距離為d=

2

5

，且r=2，∴MN=2

r2-d2

=

8 5

5

．
（2）因?yàn)閥_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圓E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，-1），N（±2，1）得直線MN的方程為x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）易得A(-

3

，0)，B(

3

，0)，設(shè)P（x，y），
則由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，
化簡(jiǎn)得x2=y2+

3

2

①
由題意知點(diǎn)P在圓E內(nèi)，所以x²+（y-1）²＜4，結(jié)合①，
得4y²-4y-3＜0，解得-

1

2

＜y＜

3

2

．從而

PA

•

PB

=x2+y2-3=2y2-

3

2

∈[-

3

2

，3)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和圓的方程的有關(guān)問(wèn)題．屬小綜合題．