已知3sin2α+2sin2β-2sinα=0,則cos2α+cos2β的取值范圍為________.
分析:由已知中3sin
2α+2sin
2β-2sinα=0,根據(jù)一個(gè)數(shù)平方的非負(fù)性,我們可以判斷出sinα的取值范圍,進(jìn)而利用同角三角形函數(shù)關(guān)系,將cos
2α+cos
2β表示成一個(gè)關(guān)于sinα的表達(dá)式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和sinα的取值范圍,即可得到cos
2α+cos
2β的取值范圍.
解答:∵3sin
2α+2sin
2β-2sinα=0,
∴2sin
2β=2sinα-3sin
2α=sinα(2-3sinα)≥0
∴0≤sinα≤
∴cos
2α+cos
2β=cos
2α+(1-sin
2β)=cos
2α+[1-
(2sinα-3sin
2α)]=
sin
2α-sinα+2=
(sinα-1)
2+
當(dāng)sinα=0時(shí),cos
2α+cos
2β取最大值2;
當(dāng)sinα=
,cos
2α+cos
2β取最小值
故cos
2α+cos
2β的取值范圍為
故答案為:
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),其中根據(jù)已知條件判斷出sinα的取值范圍,是解答本題的關(guān)鍵.