Question

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（5，0），求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用右焦點(diǎn)是直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)，短軸的長(zhǎng)是焦距的2倍，可求c=1，且b=2c=2，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）用坐標(biāo)表示向量，結(jié)合橢圓的范圍，從而確定向量數(shù)量積的最大值；
（3）設(shè)設(shè)M（x，y），利用M是AP的中點(diǎn)，求得P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-5，2y），代入橢圓方程可求解．

解答：解：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點(diǎn)是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以橢圓的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）…（6分）
設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當(dāng)x=±

5

，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）設(shè)M（x，y），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-5，2y），…（12分）
代入橢圓方程，得：

(2x-5)2

5

+

(2y)2

4

=1，即

(2x-5)2

5

+y2=1…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量意解析幾何的結(jié)合，同時(shí)考查代入法求軌跡方程，由一定的綜合性