Question

20．“十一黃金周”期間某市再次迎來了客流高峰，小李從該市的A地到B地有L₁、L₂兩條路線（如圖），L₁路線上有A₁、A₂、A₃三個路口，各路口遇到堵塞的概率均為$\frac{2}{3}$；L₂路線上有B₁、B₂兩個路口，各路口遇到堵塞的概率依次為$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．
（1）若走L₁路線，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）按照“平均遇到堵塞次數最少”的要求，請你幫助小李從上述兩條路線中選擇一條最好的出行路線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）走路線L₁最多遇到1次紅燈為事件A，分為兩種情況，一種是3次都沒有遇到紅燈，一種是只有一次遇到紅燈，計算出即可；
（2）由題意可得，走L₂路線，遇到堵塞的次數為X，X可能取值為0，1，2．利用獨立事件的概率計算公式和互斥事件的概率計算公式即可得出概率，設選擇路線L₁遇到紅燈次數為Y，則Y～B（3，$\frac{2}{3}$），利用公式計算出EX，EY，比較即可得到答案．

解答 解：（1）設走L₁路線，最多遇到1次堵塞為A事件，
則P（A）=${C}_{3}^{1}$×$（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
故走L₁路線，最多遇到1次堵塞的概率為$\frac{7}{27}$；
（2）設走L₂路線，遇到堵塞的次數為X，則X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
則EX=$\frac{1}{10}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{9}{20}×2$=$\frac{27}{20}$，
設走L₁路線，遇到堵塞的次數為Y，則Y服從二項分布，Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
則EY=3×$\frac{2}{3}$=2，
由于EX＜EY，故L₂路線是最好的出行路線．

點評 熟練掌握獨立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、數學期望計算公式、分類討論思想方法、二項分布概率計算公式是解題的關鍵．