Question

【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）設(shè)x，y∈A，對(duì)任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A={x|0＜x＜2}（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）利用零點(diǎn)分類(lèi)法，進(jìn)行求解不等式；

（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和基本不等式進(jìn)行證明。

解：（Ⅰ）當(dāng)x＜時(shí)，不等式變形為1-2x+2-2x＜x+3，解得0＜x＜；

當(dāng)時(shí)，不等式變形為2x-1+2-2x＜x+3，解得；

當(dāng)x＞1時(shí)，不等式變形為2x-1+2x-2＜x+3，解得1＜x＜2；

綜上得A={x|0＜x＜2}．

（Ⅱ）∵x，y∈A，∴0＜x，y＜2，

∵||x+a|-|y+a||≤|（x+a）-（y+a）|=|x-y|，

∵0＜x，y＜2，∴-2＜x-y＜2，∴|x-y|＜2，∴||x+a|-|y+a||＜2，

∵+≥2=2，∴||x+a|-|y+a||＜+，即xy（|x+a|-|y+a|）＜x2+y2．