Question

11．C₁，C₂是以原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓，C₁的半徑r₁=2，C₂的半徑r₂=6，C₁上有一點(diǎn)P，C₂上有一點(diǎn)Q，各以每秒1弧度的角速度繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)安順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=0時(shí)，P點(diǎn)在x軸上，Q點(diǎn)在y軸上，求PQ中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 設(shè)∠POx=θ，則∠QOx=$\frac{π}{2}-θ$，從而P（2cosθ，2sinθ），Q（6sinθ，6cosθ），M（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），由輔助角公式，結(jié)合θ=ωt=t，能求出PQ中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程．

解答 解：兩個(gè)點(diǎn)在相同速度相同時(shí)間內(nèi)走過(guò)的角度為ωt，
且OP與x軸正半軸的夾角與OQ與x軸正半軸的角之和為$\frac{π}{2}$，
設(shè)∠POx=θ，則∠QOx=$\frac{π}{2}-θ$，
∴P（2cosθ，2sinθ），Q（6sinθ，6cosθ），
則PQ的中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{M}=cosθ+3sinθ}\\{{y}_{M}=sinθ+3cosθ}\end{array}\right.$，
∴M（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），
由輔助角公式，得：
${x}_{M}=cosθ+3sinθ=\sqrt{10}cos（θ-α）$，$（cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}）$．
${y}_{M}=sinθ+3cosθ=\sqrt{10}sin（θ+α）$，
又θ=ωt=t，
∴PQ中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{10}cos（t-α）}\\{y=\sqrt{10}sin（t-α）}\end{array}\right.$．（t為參數(shù)），$（cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式、和差化積公式的合理運(yùn)用．