已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，為短軸的端點(diǎn)，△的面積為，離心率是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn) (為橢圓的右焦點(diǎn))．

 

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）證明：見解析 。

【解析】(I)由題意可得,再根據(jù),求出a,b的值.

(II) 以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn)本質(zhì)是證明：且.然后利用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)條件把M、N的坐標(biāo)求出來，證明即可.

請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.

（Ⅰ）解：由已知

 解得，．  …………4分故所求橢圓方程為．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)．設(shè)，則． 于是直線方程為 ，令，得；

所以，同理．

所以，.

所以

．

所以 ，點(diǎn)在以為直徑的圓上．

設(shè)的中點(diǎn)為，則．

又，

所以

．

所以 ．…………12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415082887148337/SYS201208241509015334544895_DA.files/image046.png">是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，故以為直徑的圓與直線相切于右焦點(diǎn)．

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為
3
2
，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1；
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B是橢圓C的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)p是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．

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已知橢圓=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，曲線E是以橢圓中心為頂點(diǎn)，B為焦點(diǎn)的拋物線．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=（x-2）與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)•≥68時(shí)，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．

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已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分F1、F2，M是橢圓上一點(diǎn)，N是MF1的中點(diǎn)，若|ON|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|MF1|等于     ．

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已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分F1、F2，M是橢圓上一點(diǎn)，N是MF1的中點(diǎn)，若|ON|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|MF1|等于     ．

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