對函數(shù)f（x）=
sinx    sinx≥cosx
cosx    sinx＜cosx
有下列命題：
①f（x）的值域?yàn)閇-1，1]；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kл+
π
2
，k∈Z時(shí)，該函數(shù)取最大值1；
③f（x）是以л為最小正周期的函數(shù)； 
④當(dāng)且僅當(dāng)2kл+л＜x＜2kл+
3π
2
，k∈Z時(shí)，f（x）＜0．
其中正確的是（　�。�
分析：由題意可得：函數(shù) f(x)=
sinx，[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]
cosx，[2kπ-
3π
4
，2kπ+
π
4
]
，再根據(jù)周期函數(shù)的定義結(jié)合其圖象可得函數(shù)的周期等性質(zhì)即可．
解答：解：由題意可得：函數(shù) f(x)=
sinx當(dāng)sinx≥cosx時(shí)
cosx當(dāng)sinx＜cosx時(shí)
，即 f(x)=
sinx，[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]
cosx，[2kπ-
3π
4
，2kπ+
π
4
]
，作出其圖象如圖，從圖象上可以看出：
①sinx≥cosx，∴
π
4
+2kπ≤x≤
5π
4
+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-
3π
4
+2kπ＜x＜
π
4
+2kπ
∴f（x）=
sinx   [
π
4
+2kπ
5π
4
+2kπ]
cosx  (-
3π
4
+2kπ
π
4
+2kπ) 
，∴f（x）的值域?yàn)閇-
2
2
，1]
②當(dāng)x=
π
2
+2kπ或x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值為1．
∵f（x+π）=
-sinx
-cosx
≠f（x）
③∴f（x）不是以π為最小正周期的周期函數(shù)，
④當(dāng)f（x）＜0時(shí)，2kπ+π＜x＜2kπ+
3π
2
（k∈Z）
綜上所述，正確的④，
故選D．
點(diǎn)評：本提主要考查了正弦函數(shù)及余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用定義先找出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及三角函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)F(a，b)=
1
2
(a+b-|a-b|)．如果函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cosx，那么對于函數(shù)G（x）=F（f（x），g（x））．對于下列五種說法：
（1）函數(shù)G（x）的值域是[-
2
，2]；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+
π
2
＜x＜2(k+1)π(k∈Z)時(shí)，G（x）＜0；
（3）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+
π
2
(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取最大值1；
（4）函數(shù)G（x）圖象在[
π
4
，
9π
4
]上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離是相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離的4倍；
（5）對任意實(shí)數(shù)x有G(
5π
4
-x)=G(
5π
4
+x)恒成立．
其中正確結(jié)論的序號是
（2）（4）（5）
（2）（4）（5）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•韶關(guān)模擬）對函數(shù)f（x）=x•sinx，現(xiàn)有下列命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是2π；
③點(diǎn)（π，0）是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對稱中心；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-
π
2
，0]上單調(diào)遞減．其中是真命題的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，求證：
cosα
sinα+sin3α
=
1+α2
4α
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•綿陽三模）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，．使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當(dāng)x2∉[a，b]時(shí)，f（x2）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（X）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；
②“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)一定沒有最小值；
③函數(shù)f（x）=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)．
則以上說法中正確的是
①③
①③
．（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）

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