Question

8．甲船在島B的正南A處，AB=10n mile，甲船自A處以4n mile/h的速度向正北航行，同時(shí)乙船以6n mile/h的速度自島B出發(fā)，向北偏東60°方向駛?cè)�，則兩船相距最近時(shí)經(jīng)過了$\frac{150}{7}$min．

Answer 1

分析 兩船軌跡及距離最近時(shí)兩船連線構(gòu)成一個(gè)以A島為頂點(diǎn)，角度是120度的三角形，設(shè)距離最近時(shí)航行時(shí)間為t（h），此時(shí)距離s（km），此時(shí)s（n mile），此時(shí)甲船到B島距離為（10-4t）n mile，乙船距離B島6t（n mile）．由余弦定理可得cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-0.5，化簡得：s²=28t²-20t+100，由此能求出甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間．

解答 解：兩船軌跡及距離最近時(shí)兩船連線構(gòu)成一個(gè)以A島為頂點(diǎn)，角度是120度的三角形，
設(shè)距離最近時(shí)航行時(shí)間為t（h），此時(shí)距離s（n mile），此時(shí)甲船到B島距離為（10-4t）n mile，乙船距離B島6t（n mile）．
由余弦定理可得cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-0.5，化簡得：s²=28t²-20t+100．
此函數(shù)的圖象是拋物線，開口朝上，故在對稱軸處s²有最小值，
故s²取最小值時(shí)，t=-$\frac{-20}{2×28}$=$\frac{5}{14}$h=$\frac{150}{7}$min．
故答案為：$\frac{150}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查解三角形問題在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意余弦定理的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．