Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記f^-1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)，關(guān)于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（2）先求得反函數(shù)f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），構(gòu)造函數(shù)m=f-1(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁+1＜2^x₂+1，
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增

（2）∵f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)
當(dāng)1≤x≤2時，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

∴m的取值范圍是[log2(

1

3

)，log2(

3

5

)]

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．