Question

（08年豐臺區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一理）（14分）

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q

（）的等比數(shù)列.若

     (Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式；     

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)n均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

解析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ .  ∴ . ………………………………… 2分

∵ , ∴ .

∵ ,  ∴ .

又， ∴ .………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由題設(shè)知 ， ∴.

     當(dāng)時, ,

  ,

     兩式相減,得.

     ∴  (適合).…………………………… 7分

     設(shè)T=,

∴

           兩式相減 ,得

             

              .

              ∴ .………………………………………………… 9分

(Ⅲ) ,   .

         現(xiàn)只須比較與的大小.

         當(dāng)n=1時, ；

         當(dāng)n=2時, ；

         當(dāng)n=3時, ；

         當(dāng)n=4時, .

         猜想時，.

         用數(shù)學(xué)歸納法證明

         (1)當(dāng)n=2時，左邊，右邊，成立.

         (2)假設(shè)當(dāng)n=k時, 不等式成立，即.

            當(dāng)n=k+1時,

.

             即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

             由（1）（2），可知時，都成立.

             所以 （當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時，等號成立）

             所以.即. …………………………… 14分