Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-1，若函數(shù)y=f（x）在相異兩動點A、B處的切線平行，求證：直線AB恒過一個定點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：設兩點A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），由題意得b=-a-2，故得過A、B的直線參數(shù)方程為x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，化簡整理即可得出結(jié)論．

解答： 證明：設兩點A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），則
∵f（x）=x³+3x²-1，∴f′（x）=3x²+6x，
∵函數(shù)y=f（x）在相異兩動點A、B處的切線平行，
∴3a²+6a=3b²+6b，
∴b=-a-2，
∴過A、B的直線參數(shù)方程為x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，
化簡得x=a+（-2a-2）t=a（1-2t）-2t，y=3-4t+3（2t-1）a²+（2t-1）a³，
∴t=

1

2

時，1-2t=0．
∴x=-1，y=1，
∴直線AB恒過一個定點（-1，1）．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及直線恒過定點問題，考查學生對直線參數(shù)方程的運用能力，屬于中檔題．