Question

（本小題滿分12分）

       如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中點。

   （Ⅰ）求證平面ABD；

   （Ⅱ）平面AB₁D與側面BB₁C₁C所成銳角的大小。

Answer 1

解析 方法一：

   （Ⅰ）在

      

       在

       即

       又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

       平面BB₁C₁C，而B₁D平面BB₁C₁C，

        

       平面ABD；

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD，平面平面BB₁C₁C=B₁D

       就是平面AB₁D與側面BB₁C₁C的成角的平面角

       在

      

       即平面AB1D與側面BB1C1C所成銳角的大小為……12分

       方法二：

       如圖所示建立空間直角坐標系

       則A（0，1，0），B（0，0，0）C（1，0，0），

       D（1，0，1），B₁（0，0， 2），C₁（1，0，2）

       于是，

      

   （Ⅰ）

      

      

      

   （Ⅱ）設平面AB₁D的法向量為則由

       得

       令易知平面BB₁C₁C的法和量為

       設平面AB₁D與平面BB₁C₁C所成角的大小為θ

       則

       即平面AB₁D與側面BB₁C₁C所成銳角的大小為……12分