Question

如圖，在△AOB中，點(diǎn)P是AB的中垂線上的一點(diǎn)，|

AO

|=3，|

BO

|=2，則

.

OP

•（

.

OA

-

.

OB

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)出AB的中點(diǎn)D，則

OP

=

OD

+

DP

，代入到向量式

OP

•(

OA

-

OB

)中，化簡(jiǎn)計(jì)算，注意到

DP

•

BA

=0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成計(jì)算

OD

•

BA

，又

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

），計(jì)算可得

OD

•

BA

=

1

2

（

OA

+

OB

）•(

OA

-

OB

)=

1

2

（

OA

2-

OB

2），代值計(jì)算即可．

解答： 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則

OP

=

OD

+

DP

，
∴

OP

•(

OA

-

OB

)=（

OD

+

DP

）•

BA

=

OD

•

BA

+

DP

•

BA

=

OD

•

BA

，
又

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴

OD

•

BA

=

1

2

（

OA

+

OB

）•(

OA

-

OB

)=

1

2

（

OA

2-

OB

2）=

1

2

(32-22)=

5

2

．
即

OP

•(

OA

-

OB

)=

5

2

．
故填：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)向量的不斷轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，學(xué)生在做題時(shí)要學(xué)會(huì)利用題目中的條件，例如，“點(diǎn)P是AB的中垂線上的一點(diǎn)”這個(gè)條件的利用就不難想到設(shè)出AB的中點(diǎn)D，另外，“若OD是△OAB的中線，則

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）”這個(gè)結(jié)論也運(yùn)用的較為廣泛．