Question

13．若△ABC的外接圓圓心O，垂心是H，求證：$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 作出如圖的圖形，可證得四邊形AHBE是平行四邊形，從研究$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$入手，利用三角形法則與圖象進(jìn)行整理，將三者的和用$\overrightarrow{OH}$表示出來可得結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC的外接圓圓心O，垂心是H，
∴H是BC邊與AC邊上高的交點(diǎn)．
連接CO并延長交圓O于E，連接AE，BE．
由CE是圓的直徑可知∠CAE=∠CBE=90°，
即EA垂直AC，EB垂直BC．
∵H是兩邊高上的交點(diǎn)，即AH垂直BC，BH垂直AC，
∴有AH平行BE，BH平行AE，
∴四邊形BEAH是平行四邊形，
從而向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{EO}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{OH}$，
即向量$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的五心，解答本題，關(guān)鍵是根據(jù)題意，構(gòu)造出平行四邊形，再利用向量運(yùn)算，將三個(gè)向量的和表示出來，本題中選擇入手的位置很關(guān)鍵，此類似于代數(shù)中的化簡式證明．作題時(shí)注意構(gòu)造法思想的運(yùn)用，向量在幾何中的運(yùn)用．