Question

如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的兩個(gè)根（OA＜OB），P為直線l上異于A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn)． 且PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q．
（1）求直線l_AB斜率的大��；
（2）若時(shí)，請你確定P點(diǎn)在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由

．∴k=tan∠BAO=．
（2）∵
即P為AB的中點(diǎn)，∴PQ==4．
（3）由已知得l方程為4x+3y=24（*）

①當(dāng)∠PQM=90°時(shí)，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此時(shí)M點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，設(shè)Q（a，0）則P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=.．
②當(dāng)∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|設(shè)Q（a，0）則M（0，a），P（a，a）進(jìn)而得a=．
③當(dāng)∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
設(shè)Q（a，0）則M（0，a）點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，2a）代入（*）得a=．
綜上所述，y軸上有三個(gè)點(diǎn)M₁（0，0），M₂（0，）和M₃（0，）滿足使△PMQ為等腰直角三角形．
分析：（1）由，進(jìn)而得到OA=6，OB=8，由此能得到直線l_AB斜率的大�。�
（2）由，知，即P為AB的中點(diǎn)，由此能求出PQ==4．
（3）由已知得l方程為4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三種情況分別討論，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論法的合理運(yùn)用．