解:(I)函數(shù)f(x)=ax
2+2x+1,g(x)=lnx,
∴F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,
其定義域?yàn)椋?,+∞).
∴
=
,
∴F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),
∴方程2ax
2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根,
∴
,
解得
,
∴F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是
.
(II)證明:不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要條件是:
F(x)=ax
2+2x+1-lnx≥0在(0,+∞)上恒成立,
即
在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=lnx-(2x+1),則
,
當(dāng)x∈
時(shí),h′(x)>0,
當(dāng)
時(shí),h′(x)<0.
∴
時(shí),h(x)
max=
,
故x∈(0,+∞),都有
,
∴當(dāng)a≥0時(shí),
在(0,+∞)上恒成立,
即當(dāng)a≥0時(shí),不等式f(x)≥g(x)恒成立.
分析:(I)由F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,其定義域?yàn)椋?,+∞),知
=
,由F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),知方程2ax
2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根,由此能求出F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件.
(II)不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要條件是
在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=lnx-(2x+1),則
,由此能夠證明當(dāng)a≥0時(shí),不等式f(x)≥g(x)恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易錯(cuò)點(diǎn)是不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要條件是
在(0,+∞)上恒成立,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.