Question

函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件．
（II）求證：當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴=，
∴F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴方程2ax²+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根，
∴，
解得，
∴F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是．
（II）證明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），則，
當(dāng)x∈時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0．
∴時(shí)，h（x）_max=，
故x∈（0，+∞），都有，
∴當(dāng)a≥0時(shí)，在（0，+∞）上恒成立，
即當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），知=，由F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，知方程2ax²+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根，由此能求出F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），則，由此能夠證明當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．