已知拋物線y2=6x.（1）求以點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；（2）求過(guò)焦點(diǎn)F的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）求拋物線被直線y=x-m截得的弦的中點(diǎn)的軌跡.

思路解析：可設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元求解；也可利用“設(shè)而不求”法.

解法一：如圖所示.

（1）設(shè)直線l：y-1=k(x-4)（顯然k存在且不為0），

即x=+4,代入y2=6x,整理得ky2-6y+6(1-4k)=0.

又設(shè)弦AB的端點(diǎn)為A（x1,y1）、B（x2,y2），

則y1+y2=.

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴=1，

即=1.∴k=3,直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.

（2）焦點(diǎn)F（，0），設(shè)l：y=k(x-)(k≠0),

即x=+,代入y2=6x得ky2-6y-9k=0.

設(shè)AB中點(diǎn)為P(x0，y0),則y0==.                          ①

又y0=k(x0-),                                                                ②

由①,得k=,代入②,得y0=3(x0-)，

即所求軌跡方程是y2=3(x-).

（3）由y2-6y-6m=0.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q（x0，y0），

則由Δ=62+4×6m＞0,得m＞-.

∴x0=m+3＞，即中點(diǎn)Q的軌跡方程是y=3(x＞),

表示除去端點(diǎn)（，3）的一條射線.

解法二：設(shè)直線l交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M（x0，y0），

由（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.

∴kl===.

 （1）由已知y0=1，∴kl=3，直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.

（2）∵kl=kMF,∴=,

即y02=3（x0-）.

∴中點(diǎn)M的軌跡方程是y2=3（x-）.

（3）由已知,得kl==1,∴y0=3.

∵∴即直線y=3與拋物線的交點(diǎn)是（，3）.

∵直線l與拋物線相交，

∴中點(diǎn)M在拋物線內(nèi)，∴x0＞，

即中點(diǎn)M的軌跡為射線y=3（x＞）.


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|AB||MA|
=
2
2
．

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已知拋物線y2=6x,定點(diǎn)A(2,3),F為焦點(diǎn),P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為(    )

A.5         B.4.5         C.3.5           D.不能確定

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