Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1= ，且 =nan（n∈N+）．
（1）寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1= ，a2= ，a3= ，a4=
（2）解：猜想：an= ．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即ak= ．

∵ =nan，∴ =（2n﹣1）an．

∴ ，

∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1，

又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak= ，

∴ak+1= = ，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．

由①②可知，對一切n∈N+，都有an=

【解析】（1）根據(jù)遞推式，依次令n=2，3，4計(jì)算a2 ， a3 ， a4；（2）根據(jù)前4相猜想通項(xiàng)公式，驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，根據(jù)條件推導(dǎo)ak+1得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義，需要了解根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能得出正確答案．