Question

雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，若過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則此雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．（2，4）
B．（2，4]
C．[2，4）
D．（2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即 ＜1，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個(gè)范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．
解答：解：橢圓的半焦距c=4．
要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即 ＜tan60°=，
即b＜a
∴＜a，
整理得c＜2a
∴a＞2，
又a＜c=4
則此雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍是（2，4）
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓錐曲線的共同特征．在求雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)的取值范圍時(shí)，注意其值要小于4．