Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值，利用x的范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極小值即可；
（2）分情況當(dāng)a=0得到f（x）與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可得到與x軸的交點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜2時(shí)討論函數(shù)的增減性得到與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＞2時(shí)，由（1）得到函數(shù)的極大值小于0，得到與x軸有一個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：（1）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
∵a＞2，∴

2

a

＜1
∴當(dāng)x＜

2

a

或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)

2

a

＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在(

2

a

，1)內(nèi)單調(diào)遞減
故f（x）的極小值為f(1)=-

a

2

（2）①若a=0，則f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
②若a＜0，則

2

a

＜1，
∴當(dāng)x＜

2

a

或x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)

2

a

＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）的極大值為f(1)=-

a

2

＞0
∵f（x）的極小值為f(

2

a

)＜0
∴f（x）的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)．
③若0＜a＜2，則

2

a

＞1．
∴當(dāng)x＜1或x＞

2

a

時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)

2

a

＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)
④若a=2，則f'（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)
⑤當(dāng)a＞2，由（1）知f（x）的極大值為f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述，若a≥0，f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；
若a＜0，f（x）的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．