Question

已知定義域為R的函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且．
（1）求及的值；
（2）求證：f（x）為奇函數且是周期函數．

Answer 1

解：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取，，得，
即，…（3分）
又已知，
所以．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，，得，
即，…（7分）
又已知，
所以．…（8分）
證明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）為奇函數．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取，得，
于是有，
所以，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函數．…（14分）
分析：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取，，得，再由，知．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=π，
得，由此能求出及的值．
（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，取x=0得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，知f（x）為奇函數．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取得，故，由此能夠證明f（x）是周期函數．
點評：本題考查抽象函數的性質和應用，難度較大．解題時要認真審題，注意賦值法的合理運用．