某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出144件. 如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比.
已知商品單價降低2元時，一星期多賣出8件．
（1）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

（1）（2）見解析

解析試題分析：（1）先設(shè)商品降價x元，寫出多賣的商品數(shù)，則可計算出商品在一個星期的獲利數(shù)，再依題意：“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”求出比例系數(shù)即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，從而救是f（x）達到極大值．從而得出所以定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．
試題解析：解：（1）設(shè)商品降價元，則每個星期多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個星期的獲利為，則依題意有，   3分
又由已知條件，，于是有，                      5分
所以             6分
（2）由（1）得          7分
當變化時，與的變化如下表：



2

12



 

 


↘
極小
↗
極大
↘
   10分
故時，達到極大值．因為，，
所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大．      13分
考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍．

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如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數(shù)）的圖象，且點M到邊OA距離為．
（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的表達式；
（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

．

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為了保護環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)．當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我國遼東半島普蘭附近的泥炭層中，發(fā)掘出的古蓮子，至今大部分還能發(fā)芽開花，這些古蓮子是多少年以前的遺物呢？要測定古物的年代，可用放射性碳法．在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性14C，動植物死亡后，停止了新陳代謝，14C不再產(chǎn)生，且原有的14C會自動衰變，經(jīng)過5570年(叫做14C的半衰期)，它的殘余量只有原始量的一半，經(jīng)過科學(xué)家測定知道，若14C的原始含量為a，則經(jīng)過t年后的殘余量a′(與a之間滿足a′＝a·e－kt)．現(xiàn)測得出土的古蓮子中14C殘余量占原量的87.9%，試推算古蓮子的生活年代．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單
位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
①求a的值；
②若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

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